Aceleração pela NBR 6123

Cálculo da aceleração máxima via metodologia do item 9.3.2 da NBR 6123:1988

Autor: Sergio Ricardo Pinheiro Medeiros

1. Fundamentos do processo para determinação da ação dinâmica do vento

Na análise estrutural de edificações, usualmente, admite-se que o fluxo do vento é unidirecional e que sua velocidade pode ser dividida em duas parcelas. A primeira é igual à velocidade média do vento e a segunda, de caráter aleatório, tem intensidade variável ao longo do tempo.

Consequentemente, a ação total do vento na direção da sua velocidade média também é composta de duas parcelas: uma ação média de intensidade constante e outra flutuante.

A parcela da ação do vento a ser considerada na determinação da resposta dinâmica é a flutuante.

2. Equação de equilíbrio

A equação de equilíbrio dinâmico para as estruturas constituídas por material elástico linear, supondo-se o amortecimento viscoso, e discretizadas via elementos finitos é:

MU''(t) + CU'(t) = F(t) (1)

onde:

N : número de graus de liberdade do modelo discreto

M : matriz massa, de ordem N x N

C : matriz de amortecimento, de ordem N x N

K : matriz de rigidez, de ordem N x N

U''(t) : vetor coluna acelerações, de ordem N

U'(t) : vetor de velocidades, de ordem N

U(t) : vetor coluna deslocamentos, de ordem N

F(t) : Vetor coluna de cargas externas, de ordem N

No capítulo 9 da NBR 6123:1988, o cálculo da resposta estrutural é realizado através do método da superposição modal. Nesse método, emprega-se a seguinte mudança de coordenadas:

U(t) = Φη(t) (2)

Na equação acima, Φ representa a matriz modal, cujas colunas Φr são os modos de vibrações livres não amortecidas da estrutura, i.e., as soluções do problema de autovalores / autovetores:

r = ωr2 M Φrr = 1, 2 , ... , N (3)

E η(t) representa o vetor das respostas modais.

A variável ωr da equação (3) é denominada de frequência angular e pode ser expressa como:

ωr = 2 π frr = 1, 2, ... , N (4)

onde fr é a frequência natural correspondente ao r-ésimo modo de vibração.

Substituindo (2) em (1) e pré-multiplicando (1) por Φt , obtém-se:

Φt M Φ η'' (t) + Φt C Φ η' (t) + Φt K Φ η (t) = Φt F (t) (5)

De (3) decorre que as matrizes Φt M Φ e Φt K Φ são diagonais. Assumindo-se que a matriz C possa ser calculada a partir de uma combinação linear de M e K (amortecimento de Rayleigh), a matriz Φt C Φ também será diagonal.

Deste modo, a equação de equilíbrio dinâmico (1) pode ser representada na base formada pelos modos de vibração através de N equações escalares desacopladas, uma para cada modo, como descrito a seguir:

mr ηr'' (t) +cr ηr' (t) + kr ηr (t) = Fr* (t)r = 1, 2, ... , N (6)

onde:

ηr (t): r-ésimo termo de η (t);

mr = Φt M Φ: massa modal;

cr = Φt C Φ: amortecimento modal;

kr = Φt K Φ: rigidez modal;

Fr* = Φrt F(t) : Força modal generalizada;

3. Aceleração máxima devida á ação do vento

Considerando-se que a ação flutuante do vento é um processo aleatório ergódigo de média zero, tem-se a seguinte relação entre o espectro de potência da resposta modal ηr e o da força modal generalizada Fr*:

Sηr (ƒ) = |Hr (ƒ)|2 SFr*(ƒ)r = 1, 2, ..., N (7)

Sendo |Hr (ƒ)| a admitância mecânica, definida como:

|Hr (ƒ)| = { kr [ ( 1 - βr2)2 + (2 ζr βr)2 ] 1/2 } -1 (8)

onde:

ƒ : variável frequência;

ƒr : frequência natural associada ao modo de vibração de ordem r;

βr = ƒ / ƒr

ζr = cr / (4 π mr ƒr ) : razão de amortecimento crítico


O desvio padrão da resposta modal será:

σηr = { ∫0|Hr (ƒ)|2 SFr*(ƒ) dƒ }1/2r = 1, 2, ... , N (9)

E o valor máximo provável de ηr (valor de pico) será:

r)max = g σηrr = 1, 2, ... , N (10)

sendo g o fator de pico da resposta.

Então, para o modo de vibração de ordem r, a resposta de pico pode ser expressa por:

Ûr = g σηr Φr (11)

No item 9.5 Cálculo de acelerações máximas para verificação de conforto da NBR 6123/1988 está escrito que:

Se uj denota o deslocamento no nível z devido à resposta flutuante no modo j, a amplitude máxima da aceleração neste nível pode ser calculada pela expressão:

aj = 4 π2 ƒj2 uj


Cabe salientar que existe um erro ortográfico na norma e o termo uj da expressão acima se encontra elevado ao quadrado.

Escrevendo essa expressão da norma na notação adotada neste texto, tem-se:

air = 4 π2 ƒr2 uir (12)

onde:

i : grau de liberdade correspondente ao nível z

r : índice do modo de vibração considerado

De (4) e (12), tem-se:

ar = ωr2 ur (13)

Considerando-se as expressões (11) e (13), a componente da aceleração máxima, devida ao modo de vibração de ordem r, atuante no o i-ésimo grau de liberdade do modelo estrutural será:

âir = ( g σηr ωr2 ) Φir (14)

No apêndice A deste texto, é apresentada a dedução do desvio padrão da resposta modal σηr para estruturas sujeitas às ações flutuantes do vento definidas segundo a NBR 6123:1988, chegando-se a seguinte expressão:

σηr = ( γr / mr ) Σ Φkr ( zref / zk )p Fk V (15)

onde:

γr : parâmetro definido pela expressão (15 a) do apêndice A;

zref : altura de referência;

zk : altura do nó da estrutura com k-ésimo grau de liberdade;

p : parâmetro meteorológico definido no apêndice A da NBR 6123: 1988;

Ak: área de exposição associada ao k - ésimo grau de liberdade;

Fk V: força que o vento médio exerce na área de exposição Ak, definida pela expressão (5a) do apêndice A.


Substituindo (16) em (15), tem-se:

âir = (g ωr2) Φir ( γr / mr ) Σ Φkr (zref / zk)p FkV (16)
âir = { Σ Φkr (zref / zk)p FkV } (g ωr2 γr) / mr Φir (17)

Fazendo-se:

ξr = ( g ωr2 γr ) (18)

Tem-se:

âir = { Σ Φkr (zref / zk)p FkV } ξr / mr Φir (19)

E finalmente:

âir = FrH Φir (20)

onde:

FrH = { Σ Φkr (zref / zk)p FkV } ξr / mr (21)

A variável ξ definida pela expressão (18) é adimensional e denominada de coeficiente de amplificação dinâmica. A NBR 6123:1988, no seu capítulo 9, apresenta ábacos para o cálculo desse coeficiente para as suas cinco categorias de terreno. Tais ábacos foram gerados por Galindez [1], supondo um fator de pico da resposta g igual a 4 e uma forma modal linear. Além desses dois parâmetros, a construção desses ábacos também depende [2]: do perfil de velocidades médias do vento, da razão do amortecimento crítico, das dimensões da superfície frontal da edificação, da frequência natural do modo de vibração e da velocidade de projeto do vento.


4.Implementação computacional

No Sistema CAD/TQS®, as componentes máximas da aceleração nas direções globais X e Y da estrutura devida a ação do vento são calculadas através dos seguintes passos:

a) Cálculo dos modos de vibração e das frequências naturais do modelo estrutural;

b) Identificação dos dois modos fundamentais de flexão da estrutura (Φrk) (k=1,2);

c) Para cada um desses dois modos de vibração de flexão da estrutura, cálculo do vetor aceleração:

âirk = FrkH Φirk i = 1,2, ... , N através das expressões (20) e (21);

d) Combinação das contribuições dos dois modos de flexão para a aceleração através do método SRSS (Square Root of Sum of Squares). Nesse método, a superposição das acelerações relativas aos dois modos flexionais é calculada a partir da raiz quadrada da soma dos quadrados dos seus termos:

âi = { âir12 + âir22}1/2 i = 1,2, ... , N

e) Determinação do valor máximo das componentes da aceleração nas direções globais X e Y da estrutura:

âx = máximo (âi) onde:

1 < i <= N e i corresponde a um grau de liberdade de translação na direção X;

ây = máximo (âj) onde:

1 < j <= N e corresponde a um grau de liberdade de translação na direção Y;


Esclarecimentos importantes:

I) O emprego do método deve se restringir a edifícios para os quais as duas menores frequências estejam associadas aos dois modos fundamentais de flexão das suas estruturas. Ademais, nesses modos, não deve existir acoplamento significativo entre deslocamentos laterais e rotações de torção;

II) A velocidade média do vento utilizada no cálculo das forças médias FkV é a velocidade característica sobre um intervalo de 600s:

Vk = V0 S1 S2 S3

Onde:

V0 - Velocidade básica do vento;

S1 - Fator topográfico;

S2 - Fator relativo à rugosidade do terreno;

S3 - Fator baseado em conceitos probabilísticos.

III) Conforme prescrito pela ABNT NBR 6123, no seu item 9.5:

"Considera-se admissível que a amplitude máxima de acelerações seja excedida, em média, uma vez em cada 10 anos.”

Então, na implementação do procedimento de cálculo da aceleração máxima descrito neste texto, adota-se o fator probabilístico S3 da velocidade característica do vento igual a 0,78, correspondente a um período de retorno de 10 anos com uma probabilidade de ocorrência de 63%.


Apêndice A - Dedução do desvio padrão da resposta modal

O procedimento adotado neste apêndice para a dedução da expressão do desvio padrão da resposta modal,

σηr = { ∫0|Hr (ƒ)|2 SFr*(ƒ) dƒ }1/2r = 1, 2, ... , N (1a)

de estruturas sujeitas às ações flutuantes do vento segue o exposto na dissertação de mestrado de Galindez [1], cujos resultados serviram de base para elaboração da NBR 6123:1988 [3].

Assume-se também que para cada grau de liberdade de translação dos nós da estrutura exista uma zona de integração de pressões, com uma área de exposição Ai e um coeficiente de arrasto Cai. De tal modo que as forças aerodinâmicas sejam aplicadas nos respectivos graus de liberdade do vetor de forças externas F(t).

Inexistem zonas de integração de pressões associadas aos graus de liberdade de rotação. Variáveis que dependam de tais zonas de integração de pressões para sua definição são assumidas como nulas nas expressões matemáticas deste apêndice.

1. Relação entre a densidade espectral de potência da força modal generalizada SFr* (f)e o espectro cruzado das forças externas SFij (f) nas zonas de integração i e j

SFr* (ƒ) = ΣΣ Φir Φjr SFij (ƒ) / mr2 (2a)

2. Relação entre os espectros cruzados das forças externas SFij(f) e os da velocidade flutuante do vento SVij(f) nas zonas de integração i e j

SFij (ƒ) = (ρ2 Ai Aj Cai Caj Vi Vj Χi Χj ) Svij (ƒ) (3a)
SFij (ƒ) = ( 4/ Vi Vj ) ( 1/2 ρ Ai Cai Vi2 ) ( 1/2 Aj Caj Vj2 ) Χi Χj Svij (ƒ) (4a)

onde:

ρ: massa específica do ar;

Ak : área de exposição associada ao k-ésimo grau de liberdade;

Cak : coeficiente de arrasto na área Ak

Vk: velocidade média do vento no nó com grau de liberdade k;

Χk : admitância aerodinâmica na área de exposição Ak ;


A força que o vento médio exerce na área de exposição é dada por:

FkV = 1/2 (ρ Ak Cak Vk2) (5a)

Substituindo (5a) em (4a), chega-se a:

SFij (ƒ) = ( 4/ Vi Vj ) FiV FjV Χi Χj Svij (ƒ) (6a)

3. Espectro cruzado da velocidade flutuante do vento da NBR 6123:1988

SVij (ƒ) = S1(ƒ) Rij (f, Δy, Δz ) (7a)

onde:

S1 (ƒ) : espectro de turbulência de Harris;

Δy: diferença entre as coordenas horizontais y dos nós com graus de liberdades i e j;

Δz: diferença entre as coordenas verticais y dos nós com graus de liberdades i e j;

Rij (f, Δy, Δz ) : coeficiente de correlação;


4. Espectro cruzado das forças externas nas zonas de integração i e j

Substituindo (7a) na equação (6a), tem-se:

SFij (ƒ) = ( 4/ Vi Vj ) FiV FjV Χi Χj S1(ƒ) Rij (f, Δy, Δz ) (8a)

Adotando-se a lei potencial para a descrição do perfil vertical da velocidade média:

Vi = Vref (zi / zref )p (9a)

onde:

zi : coordenada vertical z do nó com i-ésimo grau de liberdade;

zref : coordenada vertical z de referência, em geral igual a 10 m;

p: parâmetro função da rugosidade do terreno e do intervalo de tempo, definido no apêndice A da NBR 6123:1988

Vi : velocidade média da coordenada vertical igual a zi;

Vref : velocidade média na coordenada vertical igual a z ref;


Resulta que:

(1/ViVj) = ( 1/Vref2) [ zref2 / (zi zj ) ]p (10a)

Substituindo (10a) em (8a), obtém-se:

SFij (ƒ) = ( 4/ Vref 2) [ zref2 / (zi zj ) ]p FiV FjV Χi Χj S1(ƒ) Rij (f, Δy, Δz ) (11a)


5. Desvio padrão da resposta modal

Substituindo (11a) em (2a):

SFr* (ƒ) = (ΣΣΦir Φjr 4 (1/Vref2) [ zref2 /(zi zj) ]p FiV FjV Χi Χj S1(ƒ) Rij (f, Δy, Δz ))/ mr2 (12a)

E, em seguida, substituindo (12a) em (1a):

σηr = ΣΣ Φir Φjr / mr2 [ zref2 / (zi zj)]p FiV FjV γrij2 (13a)

onde:

γrij2 = 4 ∫0 |Hr (ƒ)|2 (S1(ƒ) / Vref2) Rij (ƒ, Δy, Δz) ΧiΧj (14a)

Admitindo-se que os termos γrij2 possam ser substituídos por um valor médio:

γr2 = 4 ∫0 |Hr (ƒ)|2 (S1(ƒ) / Vref2) |Rij (ƒ, Δy, Δz)ΧiΧj|medio (15a)

Tem-se:

σηr ={(γr2 / mr2 )( ΣΣ Φir Φjr [ zref2 /(zi zj) ]p FiV FjV) } 1/2 (16a)

Rearranjando-se seus termos, a expressão (16a) pode ser reescrita como:

σηr ={(γr2 / mr2 )( ΣΣ((Φir [ zref2 / zi]p FiV) (Φjr [ zref2 / zj]p FjV))} 1/2 (17a)

Finalmente, lembrando que ΣΣ xixj = (Σ xk)2, conclui-se que:

σηr =(γr / mr ) Σ Φjr (zref2 / zk)p FkV (18a)

6. Velocidade básica

A velocidade média característica para a categoria do terreno i é igual a:


Vk,i = S1 . S2 . S3 . V0


Onde:

V0 = velocidade básica;

S1 : fator topográfico;

S2 = Fr . b. (Z/10)p

S3 : fator probabilístico;

Z : altura relativa do terreno;

Fr : fator de rajada.


Os valores de p e b para cada categoria são listados na tabela 20 da NBR 61223/1988.


A NBR 61223/1988 indica um intervalo de 600s para cálculo da velocidade média.

Considerando-se a velocidade média sobre esse intervalo tem-se:


Fr = 0,69.


Logo,


S2 = 0,69 . b. (Z/10)p


A velocidade Vk,i sobre 600s é utilizada pela rotina do TQS no cálculo das forças médias devidas à ação do vento aplicadas a edificação.


A Velocidade de projeto Vp é igual a:


Vp = 0,69. S1 . S3 . V0


Essa expressão corresponde à velocidade média característica sobre 600s a 10m de altura em um terreno de categoria II (b=1), ou seja:


Vp = Vk, II a 10m


A velocidade de projeto é utilizada pelo TQS para determinar os coeficientes de amplificação dinâmica através dos gráficos das figuras 14 a 18 da NBR 61223/1988.



Referências

[1] Galindez, E. E.: “Resposta Dinâmica de Estruturas na Direção da Velocidade Média do Vento”. Dissertação de Mestrado – Universidade Federal do Rio Grande do Sul. Porto Alegre, 1979.

[2] Blessmann, J.: “Introdução ao Estudo das Ações Dinâmicas do Vento”, 2 ed, Editora da UFRGS. Porto Alegre, 2005.

[3] ABNT – Associação Brasileira de Normas Técnicas, 1988. NBR-6123: Forças Devidas ao Vento em Edificações.





Consulte também